2024 振動解析班

春休み課題†

振動班†

• 細長い長方形断面の梁（想像しやすい材料と大きさ）の梁
• 境界条件は単純梁、片持ち梁、両端固定、その他
• モード解析で、曲げ振動（縦方向、横方向）、ねじれ振動の1次、2次、それ以上のモードの固有振動数と振動モードを求める
• 上記の理論値を求め、比較する
• 梁の細長さや要素数を変え、収束値が理論値に近くなる条件を考察

梁条件†

単位：mm

鋼材（E=206000MPa）で解析

• 単純梁　・・・皆川

• 片持ち梁　　・・・服部

• 両端固定　　・・・永山

• 一端固定他端単純支持梁 ・・・兼田

• 鉛直・水平モードの理論式　　\( f = \frac{ω}{2π} \)=\( \frac{1}{2π}\frac{λ^{2}}{l^{2}}\sqrt{\frac{EI}{ρA}} \)

• ねじれモードの理論式　　　　\( f= \frac{\lambda}{2\pi\ell}\times \sqrt{\frac{GJ}{\rho I_p}} \)

　　　　(λ:無次元定数　L:長さ　E:ヤング率　I:断面二次モーメント　ρ:密度　A:断面積　f:固有振動数　G:せん断補正係数　J:ねじり定数　GJ:ねじれ剛性　Ip：断面2次極モーメント)

　　　　λ・・・下記の図中に書いてある数値がそれに当たる。

　　　　f・・・固有振動数＝10コ　or 20コ　で入力

やること†

• salome-mecaでのモード解析

• 理論値の算出

• texで概要作成

• viなどでグラフ作成→理論値と解析値の比較

• スライド作成

• 鉛直・水平ラムダの説明図

• ねじれラムダの説明図

• 鉛直１次モードの写真

• 水平１次モードの写真

解析結果†

単純梁１【幅20×厚さ10×長さ120（スパン長100）】かつ【メッシュ0.7~4.0】†

• 鉛直１次〜３次の解析結果(１次要素)

• 水平１次〜３次の解析結果(１次要素)

  メッシュの長さ	要素数	水平１次の固有振動数解析値	相対誤差
  0.7	279829	5785.58	20.552%
  0.8	278900	5800.27	20.351%
  0.9	200601	5814.48	20.156%
  1.0	152743	5838.48	19.826%
  2.0	20990	6008.38	17.493%
  3.0	4558	6201.53	14.841%
  4.0	2843	6363.74	12.613%

• ねじれ１次〜2次の解析結果(1次要素)

  メッシュの長さ	要素数	ねじれ1次の固有振動数解析値	相対誤差
  0.7	279829	12076.1	2.287%
  0.8	278900	12080.3	2.322%
  0.9	200601	12119.3	2.652%
  1.0	152743	12170.3	3.084%
  2.0	20990	12737.1	7.885%
  3.0	4558	13972.3	18.348%
  4.0	2843	14426.9	22.198%

• 鉛直１次〜３次の解析結果(２次要素)　[Mesh1.2~4.0]

• 水平１次〜３次の解析結果(2次要素)

単純梁１【幅10×厚さ5×長さ520（スパン長500）】かつ【メッシュ0.7~4.0】†

• 鉛直１次〜３次の解析結果(１次要素)

• 水平１次〜３次の解析結果(１次要素)

• ねじれ１次〜2次の解析結果(1次要素)

  メッシュの長さ	要素数	ねじれ1次の固有振動数解析値	相対誤差
  0.7	326123	2462.19	4.276%
  0.8	242092	2479.44	5.006%
  0.9	242373	2475.68	4.847%
  1.0	155734	2510.76	6.332%
  2.0	25757	2802.61	18.693%
  3.0	5141	3994.75	69.181%
  4.0	1925	4609.33	95.209%

• 鉛直１次〜３次の解析結果(2次要素)

• 水平１次〜３次の解析結果(2次要素)

• ねじれ１次〜2次の解析結果(2次要素)

単純梁【幅10×厚さ5×長さ120（スパン100） 1次要素】 ←ここから再発表(5/15)†

まず、単純梁のスパン長100mm,500mm,700mmの１次要素をそれぞれ【収束値に対する相対誤差-要素数】のグラフを作成した。

このとき、断面積はそれぞれ10✕5と一定にしてある。

理論値＝収束値として、グラフが0に近づく様子を確認する。

○前回の振動数-要素数のグラフ　　　※今回は100mm（左）に着目

〇鉛直１〜３次＆水平１〜３次の【収束値に対する相対誤差-要素数】グラフ

鉛直・水平モードともに、上記のグラフと同様の形が見られた。

〇鉛直１次　　収束値 3444.25

〇鉛直２次　　収束値 10461.6

〇鉛直３次　　収束値 20002.9

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

〇水平１次　　収束値 5785.58

〇水平２次　　収束値　16176

〇水平３次　　収束値　28821.3

単純梁【幅10×厚さ5×長さ520（スパン500） 1次要素】†

○前回の振動数-要素数のグラフ　　　※今回は500mm（右）に着目

〇鉛直１〜３次＆水平１〜３次の【収束値に対する相対誤差-要素数】グラフ

100mmのときと同様に、鉛直・水平モードともに、上記のグラフと同様の形が見られた。

〇鉛直１次　　収束値　74.71

〇鉛直２次　　収束値　241.95

〇鉛直３次　　収束値　504.18

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

〇水平１次　　収束値　145.04

〇水平２次　　収束値　468.76

〇水平３次　　収束値　974.1

【振動数-要素数】→　要素数が多くなるほど理論値へ近づく。

【収束値に対する相対誤差-要素数】→　要素数が多くなるほど０へ近づく。

この関係から・・・

理論値へ近づくー相対誤差が小さくなるー相対誤差が０へ近づく

この流れが振動数と収束値に対する相対誤差の２つの観点から確認できた。

ここから、理論値に対する相対誤差もある値で一定なる、すなわち収束することが予想できる。

その収束点がスパン長によってズレが大きくなったり、小さくなったりするのだろう。

今までの結果から↑

単純梁【幅10×厚さ5×長さ720（スパン700） 1次要素】†

鉛直１〜３次の収束値を理論値としたときの要素数−相対誤差のグラフ

〇鉛直　収束値

・1次　37.8469

・2次　122.609

・3次　255.685

水平１〜３次の収束値を理論値としたときの要素数−相対誤差のグラフ

〇水平　収束値

・1次　74.1075

・2次　239.837

・3次　499.386

単純梁【幅10×厚さ5×長さ720（スパン700）】†

鉛直1次～3次　2次要素

単純梁【幅5×厚さ2.5×長さ520(スパン500】†

細長比：x軸回り340 、y軸回り170

ここから細長比を同値した場合の解析結果

同一細長比での比較†

・単純梁【幅10×厚さ5×長さ520(スパン500)】 細長比：x軸回り360、y軸回り180

※上と同じ

鉛直1次

鉛直2次

鉛直3次

水平1次

水平2次

水平3次

・単純梁【幅8×厚さ4×長さ416(スパン400)】 細長比：x軸回り360 、y軸回り180

鉛直1次

鉛直2次

鉛直3次

水平1次

水平2次

水平3次

・単純梁【幅6×厚さ3×長さ312(スパン300)】 細長比：x軸回り360、y軸回り180

鉛直1次

鉛直2次

鉛直3次

水平1次

水平2次

水平3次

同じメッシュで比較すると、スパン500、スパン400、スパン300の順で相対誤差が小さい。 原因としては、同じメッシュだと小さいモデルは要素数が小さく、大きなモデルは要素数が大きくなるためだと思われる。 そこで、メッシュではなく要素数で比較を行う。

要素数と理論値との相対誤差の比較(鉛直1次)

これらの点を使えば滑らかな近似曲線が引けそう。同じ形のモデルで要素数が同じであれば、相対誤差はどの大きさでも同じになると思う。

単純梁　細長比と相対誤差 　←ここまで再発表(5/15)　†

相対誤差は理論値と解析値によるもの

【横軸　細長比　　縦軸　相対誤差】

・鉛直１次〜３次のメッシュ0.7での比較

・水平1次〜3次のメッシュ0.7での比較

水平に関しては、細長比が大きくなるほど理論値に対する相対誤差は小さくなるという結果が得ることができた。 このことから細長い部材のほうがより解析値と理論値の誤差は小さくなることの確認ができたと言える。

これで再発表は終わり。

片持ち梁１【幅10×厚さ5×長さ500】かつ【メッシュ1.2~10.0】†

鉛直1次～3次　1次要素

水平1次～3次　1次要素

ねじれ1次～2次　1次要素

・2次要素

鉛直1次～3次　2次要素

水平1次～3次　2次要素

ねじれ1次～2次　2次要素

20×10×100の1次要素

・鉛直1次〜3次　1次要素

・水平1次〜3次　1次要素

・ねじれ1次〜2次　1次要素

両端固定１【幅10×厚さ5×長さ500】かつ【メッシュ0.7~4.0】†

1次要素　鉛直1〜3次、水平1〜3次、ねじれ1,2次

2次要素　鉛直1〜3次、水平1〜3次、ねじれ1,2次

20×10×100

20×10×100 2次要素

両端固定2【幅20×厚さ10×長さ500】かつ【メッシュ1.0~3.0】†

20×10×500

〇鉛直1次～3次

・鉛直1次　理論値：211.299

・鉛直2次　理論値：582.434

・鉛直3次　理論値：1141.945

〇水平1～3次

・水平1次　理論値：422.599

・水平2次　理論値：1164.869

水平3次　理論値：2283.891

一端固定他端単純支持梁１【幅10×厚さ5×長さ510】かつ【メッシュ0.7~4.0】かつ 【ローラー１コ】†

• 鉛直モード理論値

\( f = \frac{ω}{2π} \)=\( \frac{1}{2π}\frac{λ^{2}}{l^{2}}\sqrt{\frac{EI}{ρA}} \)

=72.824（１次）

=235.976（２次）

=492.271（３次）

• 鉛直１次～３次の解析結果

• 水平モード理論値

\( f = \frac{ω}{2π} \)=\( \frac{1}{2π}\frac{λ^{2}}{l^{2}}\sqrt{\frac{EI}{ρA}} \)

=145.646（１次）

=471.947（２次）

=984.53（３次）

• 水平１次〜３次の解析結果

• ねじれ１次～２次の解析結果

一端固定他端単純支持梁２【幅10×厚さ5×長さ510】かつ【メッシュ0.7~4.0】かつ 【ローラー２コ】†

• 鉛直１次～３次の解析結果

• 水平１次〜３次の解析結果

一端固定他端単純支持梁３【幅10×厚さ5×長さ510】かつ【メッシュ1.0~10.0】かつ 【ローラー１コ】かつ【２次要素】†

• 鉛直１次～３次の解析結果

• 水平１次〜３次の解析結果

• ねじれモード理論値

\( f= \frac{\lambda}{2\pi\ell}\times \sqrt{\frac{GJ}{\rho I_p}} \)

=2361.23 Hz (１次)

=4722.46 Hz (２次)

• ねじれ１次〜２次の解析結果

２次要素で解析した場合は、鉛直・水平・ねじれの全てが収束した。

一端固定他端単純支持梁４【幅20×厚さ10×長さ110】かつ【メッシュ0.7~4.0】かつ 【ローラー１コ】†

• 鉛直モード理論値

\( f = \frac{ω}{2π} \)=\( \frac{1}{2π}\frac{λ^{2}}{l^{2}}\sqrt{\frac{EI}{ρA}} \)

=3641.15（１次）

=11798.65（２次）

=24613.18（３次）

• 鉛直１次〜３次の解析結果

• 水平モード理論値

\( f = \frac{ω}{2π} \)=\( \frac{1}{2π}\frac{λ^{2}}{l^{2}}\sqrt{\frac{EI}{ρA}} \)

=7282.29（１次）

=23597.28（２次）

=49226.32（３次）

• 水平１次〜２次の解析結果

• ねじれモード理論値

\( f= \frac{\lambda}{2\pi\ell}\times \sqrt{\frac{GJ}{\rho I_p}} \)

=11806.15（１次）

=23612.30（２次）

• ねじれ１次〜２次の解析結果

上記の結果から鉛直・水平・ねじれの比較グラフをそれぞれ作成する。

• 鉛直１〜３次の比較グラフ

• スパン長100mm

• スパン長500mm（１次要素）

• スパン長500mm（２次要素）

• 水平１〜３次の比較グラフ

• スパン長100mm

• スパン長500mm（１次要素）

• スパン長500mm（２次要素）

• ねじれ１〜２次比較グラフ

• スパン長100mm

• スパン長500mm（１次要素）

• スパン長500mm（２次要素）

メモ†

• 面外と面内

面内は考えている面の水平方向を意味する。面外は考えている面との直交方向を意味する。

平面内に横たわる構造系がその平面内で荷重載荷を受けていながら、その平面から外に飛び出してたわむような座屈をする場合、この座屈を「横倒れ座屈」とか「面外座屈」と言う。これに対して載荷平面内で生じる座屈は「面内座屈」と言う。

平面内に載荷を受ける構造部材では、この面内で強度を発揮するのが目的だから一般に面内の剛性を最も大きくとっているが、相対的に面外の剛性は低くなるので面内座屈よりも面外座屈が構造部材の強度を支配することは少くない。

• 自由端反射と固定端反射

自由端は、位相のズレがなくそのまま壁にぶつかった形で反射する。

固定端は、位相がπズレて反射する。

• 固有振動数

構造物が持つ固有の共振周波数のことである。

形状・拘束位置・材料のヤング率や密度によって異なる。

v = f ×λ

また、対象物が自由振動を行うときの単位時間に起こる往復運動の回数のことであり、1秒間に10往復であれば固有振動数は10Hzとなる。

固有振動数は質量が大きくなるほど低くなり、剛性が高くなるほど高くなる。

固有振動数が重要である最も大きな理由は、共振を避けて破損や機能障害を防ぐことである。

• モード解析

構造物の振動特性をモードの重ね合わせで表現する解析方法を指す。

「モード」とは「振動モード」または「振動形態」を意味する。

固有周波数とその周波数での振動形状を調べる解析がモード解析（固有値解析）である。

• 他端

梁やスラブの支持条件をいうとき、一端が固定で他端が違う支持条件のこと。不静定梁である。

• 振動のモードについて

振動の変位方向によって、鉛直、水平、ねじれの3種類に分類できる模様(他にもあるかも)。振動の仕方はParaVisより確認できる。スクショを貼った方が分かりやすいので、余裕があれば貼ります。鉛直、水平、ねじれによって理論式が変わるみたいなので現在調べ中(日本機械学会のページがなくなってしまった)。

• 単純支持とは

両端ピン支持・片側ピン・片側ローラー支持の支持条件をいう。全てにおいて支点曲げモーメントが生じない。

単純支持は、両端に曲げモーメントが生じない静定構造のことである。

曲げモーメントとは、部材を曲げようとする力のこと。

• 振動の仕組み

力が作用すると、もとに戻ろうとする力が働くことにより、振動が生じる。

• ねじれ剛性

ねじれの力に抵抗する性質を持つもの。

• ねじれやすさ

細長いよりも太短いほうがねじれやすい。

• 断面二次極モーメント

半径ｒに関する断面二次モーメントのこと。

直交座標におけるx軸・y軸の断面二次モーメントを足し合わせたもの。

Q.固有振動数からわかることは何ですか？

A.振動解析によって固有振動数を推定することで、共振を起こす周波数と揺れの大きい箇所を把握することができます。 それぞれの物体には固有振動数があり、外部からの揺れが固有振動数に重なると、大きく揺れて（共振して）、破壊につながる可能性が大きくなります。

発表用メモ†

スパン100　鉛直　断面20×10

スパン500　鉛直　断面20×10

スパン700　鉛直　断面20×10

単純梁　細長比346.4　　10×5×500 収束値との誤差

鉛直

水平

参考資料†

• https://moridesignoffice.com/torsion-stiffness.html
• 構造振動学(https://www.str.ce.akita-u.ac.jp/~gotouhan/j2023/aono/wiki/jsme-or-jp.pdf　)
• code-asterの説明
• https://www.str.ce.akita-u.ac.jp/cgi-bin/pukiwiki/?cmd=read&page=%E5%8F%8A%E5%B7%9D%E3%81%AE%E4%BF%AE%E8%AB%96%E6%97%A5%E8%AA%8C&word=%E6%8C%AF%E5%8B%95%E8%A7%A3%E6%9E%90#n44f5ae1
• https://www.str.ce.akita-u.ac.jp/cgi-bin/pukiwiki/?cmd=read&page=salome-meca%E3%80%80%E6%8C%AF%E5%8B%95%E8%A7%A3%E6%9E%90%E3%83%A1%E3%83%A2&word=%E6%8C%AF%E5%8B%95%E8%A7%A3%E6%9E%90#zdff5a62
• code-aster質問ページ（説明書読んでも分からなかったら,このページで調べてみるといいかも.ただし,英語でキーワード等を入力する必要があります。）
  
• https://www.str.ce.akita-u.ac.jp/cgi-bin/pukiwiki/?Salome-Meca%E6%BC%94%E7%BF%92_%E5%8D%98%E7%B4%94%E6%A2%81　
• https://yutarine.blogspot.com/2018/12/gnuplot-colorname.html

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