まずは普通の回帰分析†
- 根本さんとかの振動解析モデルで、端部(\( x_{1j} \))とか中央支柱接合部(\( x_{2j} \))、、、と、
ヤング率を低下させる箇所を\( x_{ij} \)の\( i \)で表す。
- 箇所\( i \)ごとに、ヤング率を変化させた具体的な数値を\( x_{11}=100 \)MPa, \( x_{12}=200 \)MPa, \( x_{13}=300 \)MPa....みたいに、
\( j=1,2,3,... \)に対して与えていく。
- 全ての欠損箇所(\( i \))に\( j=1 \)のヤング率を与えて、振動解析を行って求まった固有振動数を\( y_{1} \)に代入する。
- \( j=1,2,3,... \)に対してこれを行えば\( y_{j} \)が求まる。
- \( y_{j} \)を目的変数、\( x_{ij} \)を説明変数として重回帰分析を行う。
- \( y=b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+...+b_{0} \)みたいな重回帰式が求まる。
- この\( x_{1}, x_{2}, ... \)の説明変数のうち、どれが\( y \)に対する影響が強いのか弱いのかを、偏回帰係数の検定で調べるとかもできるか？
- 重回帰分析のツールでF値とかが計算されるやつを利用できるかも。まずは、下の感度解析をやってみる。
- 感度解析のやり方
- 根本さんとかの振動解析モデルで、端部(\( x_{1j} \))とか中央支柱接合部(\( x_{2j} \))、、、と、
ヤング率を低下させる箇所を\( x_{ij} \)の\( i \)で表す。
- ある1箇所の\( i \)に対して、ヤング率を変化させた具体的な数値を\( x_{i1}=100 \)MPa, \( x_{i2}=200 \)MPa, \( x_{i3}=300 \)MPa....みたいに、
\( j=1,2,3,... \)に対して与えていく。
- ある1箇所の\( i \)に対して、\( j=1 \)のヤング率を与えて、振動解析を行って求まった固有振動数を\( y_{1} \)に代入する。
- \( j=1,2,3,... \)に対してこれを行えば\( y_{j} \)が求まる。
- \( y_{j} \)を目的変数、ある特定の\( i \)の\( x_{ij} \)を説明変数として単回帰分析を行う。
- \( y=bx+b_{0} \)みたいな回帰式が求まる。
- 上記のように箇所\( i \)だけのヤング率を変えて単回帰を行った場合の決定係数\( R^{2} \)を縦軸に、\( i \)を横軸にプロットすると、どの箇所\( i \)が最も影響があるかが推定できる。
固有振動数の変化を説明変数、腐朽箇所のヤング率の変化を目的変数とした回帰†
- 青山さんや青野さんがやっているのは、特定の腐朽箇所のヤング率の変化を説明変数として、
特定の振動モードの固有振動数の変化を目的変数とする単回帰で、その回帰直線の傾きから感度を求めている。
- 青野さんは、複数箇所が同時に腐朽した場合の腐朽箇所のヤング率の変化を説明変数とした場合についても同様の単回帰を行っている。
- 今あるデータですぐにできそうなこととして、複数の腐朽箇所のヤング率の変化を複数の説明変数として、1つの振動モードの固有振動数の変化を目的変数として重回帰分析を行ってみるとうことはやってもいいかもしれない。
- そうすると、どことどこの腐朽箇所の組み合わせが、ある特定の振動モードに対して感度が大きいかということはわかるかもしれない。
- でも、我々が最終的に知りたいのは、振動測定して得られた、複数のモードに対する固有振動数の変化（初期の健全状態は数値解析での予測値として）から、どこが腐朽している（確率が高い）かを予測することだ。
- 今、青野さんが大量に計算したおかげで、複数の腐朽箇所を1箇所ずつ腐朽させていったときに、複数の振動モードのそれぞれが、
どれくらい変化するかという大量のデータがある。
- では、回帰分析の説明変数と目的変数を逆にして、つまり、複数のモード（逆対称1次とか、水平対称1次とか、ねじり1次とか、それぞれの2次とか）の固有振動数の変化を説明変数にして、特定の腐朽箇所のヤング率の変化を目的変数にした重回帰分析をしたらどうだろうか。
- \( y_{腐朽箇所1のE}=a_{11}x_{水平1次の\omega}+a_{12}x_{鉛直逆対称の\omega}+a_{13}x_{ねじれの\omega}+a_{14}x_{鉛直対称の\omega} \)
- \( y_{腐朽箇所2のE}=a_{21}x_{水平1次の\omega}+a_{22}x_{鉛直逆対称の\omega}+a_{23}x_{ねじれの\omega}+a_{24}x_{鉛直対称の\omega} \)
- ....
- \( y_{腐朽箇所nのE}=a_{n1}x_{水平1次の\omega}+a_{n2}x_{鉛直逆対称の\omega}+a_{n3}x_{ねじれの\omega}+a_{n4}x_{鉛直対称の\omega} \)
みたいな重回帰式が、腐朽箇所の個数だけできて、測定値とか、テストケースの固有振動数の変化を上記の\( x \)に代入してみて、
一番変化の大きい\( y_{腐朽箇所iのE} \)が、腐朽している可能性が高いみたいな推定はできないだろうか。
まずは簡単なモデルで試してみるとして、長方形断面の単純梁に100箇所の腐朽箇所を作って、上記のことをやってみるとか。
上の例は、目的変数が1つの重回帰分析を\( n \)箇所の腐朽箇所に対してやるということだが、
複数の目的変数に対する重回帰分析も調査すべきか。多目的最適化問題も調査すべきか。
LibreOfficeで対数回帰†
以下の方法で簡単に対数回帰の決定係数も求められそう。但し、LibreOfficeの決定係数の定義がどれを使っているのかとうのは、調べて確認しておく必要がある。
- x,yデータを2列に書いて、マウスで選択
- 挿入→グラフ→散布図→完了でひとまずグラフを描く
- プロットの1つをクリックして、プロットが水色に変わったら右クリック
- 近似曲線を挿入→タイプで線形とか対数とか関数を選択、決定係数にチェック→OK
LibreOfficeの決定係数†
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