材料力学II第5回

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材料力学II第5回

小さい字は補足説明や余談なので、読み飛ばしてもいいです。

このページのオリジナルの作者は後藤文彦です。

断面定数の計算

前回は、今後、公式として使うであろう大事な式がいっぱい出てきたが、軸力や曲げモーメントを求めるために、断面の応力を面積積分すると、 $y$や$y^{2}$の積分が出てくるので、断面1次モーメント$J_{z}$や断面2次モーメント$I$という断面定数が出てきた。これは、とても大事な量であるが、具体的にどのように計算するのか、いくつかの例を以下に示す。

./png/sankakuyz.png 図のような下向き三角形の下の頂点を通るように$y$軸を取り、 $z$軸を三角形の図心とは一致しない適当な位置に取った場合に、この三角形の$z$軸回りの断面1次モーメントを求めてみたい。任意の$y$座標で$z$軸に平行な細長い面積$dA$の微小部分を考える。まず、$z$軸より下側の小さい方の微小部分について考えると、この微小部分の横幅は、この横幅を底辺とするさきっちょの小さい三角形と、全体の大きい三角形が相似であることから求まる。それぞれの三角形の底辺と高さの比から
$微小部分の横幅:小さい三角形の高さ(h_{1}-y)= 大きい三角形の横幅b:大きい三角形の高さ(h_{1}+h_{2})$
よって、この微小部分の横幅は、 $\frac{b}{h_{1}+h_{2}}(h_{1}-y)$と求まる ($y$は微小部分が$z$軸より上にある場合は負の値を取るので、この式は微小部分が$z$軸より上にあっても成り立つ)。微小部分の面積を$dA=\frac{b}{h_{1}+h_{2}}(h_{1}-y)dy$と置くと、 $z$軸まわりの断面1次モーメントは、

$J_{x}=\int_{A}ydA$
$=\int_{-h_{2}}^{h_{1}}y\frac{b}{h_{1}+h_{2}}(h_{1}-y)dy$
$=\int_{-h_{2}}^{h_{1}}\frac{b}{h_{1}+h_{2}}(h_{1}y-y^{2})dy$
$=\frac{b}{h_{1}+h_{2}}[\frac{h_{1}y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}]_{-h_{2}}^{h_{1}}$
$=\frac{b}{h_{1}+h_{2}}( \frac{h_{1}^{3}}{2}-\frac{h_{1}^{3}}{3}-\frac{h_{1}h_{2}^{2}}{2}-\frac{h_{2}^{3}}{3} )$
$=\frac{b}{6(h_{1}+h_{2})}(h_{1}^{3}-3h_{1}h_{2}^{2}-2h_{2}^{3})$ 答えとしては、これで十分だが、図心の説明の関係上、もう少し展開してみる。
$=\frac{b}{6(h_{1}+h_{2})} (h_{1}^{3}-h_{1}h_{2}^{2}-2h_{1}h_{2}^{2}-2h_{2}^{3})$
$=\frac{b}{6(h_{1}+h_{2})} (h_{1}(h_{1}^{2}-h_{2}^{2})-2h_{2}^{2}(h_{1}+h_{2}))$
$=\frac{b}{6}(h_{1}(h_{1}-h_{2})-2h_{2}^{2})$
$=\frac{b}{6}(h_{1}^{2}-h_{1}h_{2}-h_{2}^{2}-h_{2}^{2})$
$=\frac{b}{6}((h_{1}+h_{2})(h_{1}-h_{2}) -h_{2}(h_{1}+h_{2}))$
$=\frac{b}{6}(h_{1}+h_{2})(h_{1}-2h_{2})$

となる。さて、図心の$y$座標$y_{G}$を求めてみると、

$y_{G}=\frac{J_{z}}{A}$
$=\frac{\frac{b}{6}(h_{1}+h_{2})(h_{1}-2h_{2})}{\frac{b(h_{1}+h_{2})}{2}}$
$=\frac{h_{1}-2h_{2}}{3}$

となる。さて、$z$軸が図心を通っている場合、 $y_{G}=0$となるから、 $\frac{h_{1}-2h_{2}}{3}=0$から $h_{1}=2h_{2}$となり、三角形の図心は頂点から高さの$\frac{2}{3}$の位置にあることがわかる。もちろん、$z$軸が図心を通ってなくても、三角形の形は変わらないから、図心は頂点から高さの$\frac{2}{3}$の位置にある。

次に、$z$軸がこの三角形の図心上にある場合に、この三角形の$z$軸まわりの断面2次モーメントを求めてみよう。任意の$y$座標で$z$軸に平行な細長い面積$dA$の微小部分を考える。この微小部分の横幅は、さきほどと同様にさきっちょの小さい三角形と全体の大きい三角形の相似関係から、
$微小部分の横幅:小さい三角形の高さ(\frac{2}{3}h-y)= 大きい三角形の横幅b:大きい三角形の高さh$
となり、微小部分の横幅は、 $\frac{b}{h}(\frac{2}{3}h-y)$と求まる ($y$は微小部分が$z$軸より上にある場合は負の値を取るので、この式は微小部分が$z$軸より上にあっても成り立つ)。微小部分の面積を$dA=\frac{b}{h}(\frac{2}{3}h-y)dy$と置くと、 $z$軸まわりの断面2次モーメントは、

$I=\int_{A}y^{2}dA$
$=\int_{-\frac{h}{3}}^{\frac{2}{3}h}y^{2}\frac{b}{h}(\frac{2}{3}h-y)dy$
$=\frac{b}{h}\int_{-\frac{h}{3}}^{\frac{2}{3}h} (\frac{2}{3}hy^{2}-y^{3})dy$
$=\frac{b}{h}[\frac{2}{3}h\frac{y^{3}}{3}-\frac{y^{4}}{4}] _{-\frac{h}{3}}^{\frac{2}{3}h}$
$=\frac{b}{h} (\frac{2^{4}h^{4}}{3^{5}}-\frac{2^{4}h^{4}}{4\cdot 3^{4}} +\frac{2h^{4}}{3^{5}}+\frac{h^{4}}{4\cdot 3^{4}})$
$=\frac{bh^{3}}{3^{4}} (\frac{16}{3}-4+\frac{2}{3}+\frac{1}{4})$
$=\frac{bh^{3}}{3^{4}} (2+\frac{1}{4})$
$=\frac{bh^{3}}{36}$
となる。 三角形の図心軸回りの断面2次モーメントが $\frac{bh^{3}}{36}$であることは、公式として覚えておこう。

(目次)

練習問題

問1

図のような長方形の$z$軸まわりの断面1次モーメントと図心の位置、断面2次モーメントを求めよ。また$z$軸が図心上にある場合、 長方形の断面2次モーメントが$\frac{bh^{3}}{12}$となる ことを示せ。

解答

$J_{x}=\int_{A}ydA=\int_{-h_{2}}^{h_{1}}ybdy$
$=[b\frac{y^{2}}{2}]_{-h_{2}}^{h_{1}} =\frac{b(h_{1}^{2}-h_{2}^{2})}{2}$
$I=\int_{A}y^{2}dA=\int_{-h_{2}}^{h_{1}}y^{2}bdy$
$=[b\frac{y^{3}}{3}]_{-h_{2}}^{h_{1}} =\frac{b(h_{1}^{3}+h_{2}^{3})}{3}$
$y_{G}=\frac{J_{x}}{A}=\frac{h_{1}-h_{2}}{2}$
$z$軸が図心上にある場合は、
$y_{G}=0$とおくと、$h_{1}=h_{2}$なので、
${\displaystyle I=\frac{b(2h_{1}^{3})}{3}= =\frac{b(2\cdot(\frac{h}{2})^{3})}{3}= \frac{bh^{3}}{12}}$
長方形の図心軸回りの断面2次モーメントが${\displaystyle \frac{bh^{3}}{12}}$ となることは、公式として覚えておくこと。 (重要)

問2

図のような2軸対称のI型断面の図心上に$z$軸があるとき、 $z$軸まわりの断面2次モーメントを求めよ。

解答

$I=\int_{A}y^{2}dA$
$=\int_{-\frac{H}{2}}^{-\frac{h}{2}}by^{2}dy +\int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}ty^{2}dy +\int_{\frac{h}{2}}^{\frac{H}{2}}by^{2}dy$
$=[b\frac{y^{3}}{3}]_{-\frac{H}{2}}^{-\frac{h}{2}} +[t\frac{y^{3}}{3}]_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} +[b\frac{y^{3}}{3}]_{\frac{h}{2}}^{\frac{H}{2}}$
$=\frac{bH^{3}-(b-t)h^{3}}{12}$
$H=h+2t$を代入して$H$を消す場合：
$I=\frac{b(h+2t)^{3}-bh^{3}+th^{3}}{12}\\ =\frac{bh^{3}+6bh^{2}t+12bht^{2}+8bt^{3}-bh^{3}+th^{3}}{12}\\ =\frac{6bh^{2}t+12bht^{2}+8bt^{3}+th^{3}}{12} $

ついでに、$b \times h$の長方形に対する公式$\frac{bh^{3}}{12}$ を利用するなら、$b \times H$の大きい長方形の断面2次モーメントから $\frac{b-t}{2}\times h$の小さい長方形2個ぶんの断面2次モーメントを引くという便法によって求めた答えが、面積積分による答えと一致することを確認せよ。具体的なやり方はここ。
ちなみに、図形をいくつかの長方形に分解したときは、それぞれの長方形の図心が同じ軸を通っていなければ、そのまま足したり引いたりはできないので、次項の公式($I_{X}=I_{x}+Y_{G}^{2}A$)を使う。図心が同じ軸を通らない3つの長方形に分けた計算。

図心軸から離れた軸回りの断面2次モーメント

一般に橋梁などの桁は、コンクリートと鉄筋とか、コンクリートと鋼材とか、木材と鋼材とか、異なる材料が組み合わされていることが多く、その場合、断面形状も上下非対称になることが多いが、仮に断面形状自体は上下対称だとしても、中立軸が断面形状の図心軸とは一致しないことも多い。そういう一般的な橋梁断面で、中立軸を求めたりといったことは、恐らく、コンクリート構造とかの授業でもやるのではないかと思うが、そういった場合に、図心から離れた軸回りの断面2次モーメントを求める必要が出てくる。
図のように、断面の図心軸が$z$の場合、前回やったように、図心軸回りの断面2次モーメント$I_{z}$は、
${\displaystyle I_{z}=\int_{A}y^{2}dA}$
で与えられる。ではこの図心軸$z$から離れた$Z$軸回りの断面2次モーメント$I_{Z}$を求めてみよう。 $Z$軸回りの断面2次モーメント$I_{Z}$は、$Z$軸の原点から$Y$座標を取ると、同様に
${\displaystyle I_{Z}=\int_{A}Y^{2}dA}$
で与えられる。さて、$Z$軸から図心軸$z$までの距離が図のように$Y_{G}$で表されるとすると、
${\displaystyle I_{Z}=\int_{A}Y^{2}dA}$
${\displaystyle =\int_{A}(Y_{G}+y)^{2}dA}$
${\displaystyle =\int_{A}(Y_{G}^{2}+2Y_{G}y+y^{2})dA}$
${\displaystyle =Y_{G}^{2}\int_{A}dA+2Y_{G}\int_{A}y dA+\int_{A}y^{2}dA}$
$=Y_{G}^{2}A+2Y_{G}J_{x}+I_{z}$
と変形できる。$z$軸は図心を通るから、断面1次モーメント$J_{z}=0$である。つまり、
$I_{Z}=I_{z}+Y_{G}^{2}A$ (重要)
となる。これは重要な公式であるので、覚えておくこと。

図心軸から離れた軸回りの断面1次モーメント

同様に、図心軸から離れた軸回りの断面1次モーメントも求めてみよう。
図のように、断面の図心軸が$z$の場合、前回やったように、図心軸回りの断面1次モーメント$J_{z}$は、
${\displaystyle J_{z}=\int_{A}ydA}$
で与えられるが、図心を通る場合は、$J_{z}=0$である。ではこの図心軸$z$から離れた$Z$軸回りの断面1次モーメント$J_{Z}$を求めてみよう。このように図心を通らない軸回りの断面1次モーメントは0にはならないので、なにかと必要になることもある。 $Z$軸回りの断面1次モーメント$I_{Z}$は、$Z$軸の原点から$Y$座標を取ると、同様に
${\displaystyle J_{Z}=\int_{A}YdA}$
で与えられる。さて、$Z$軸から図心軸$z$までの距離が図のように$Y_{G}$で表されるとすると、
${\displaystyle J_{Z}=\int_{A}YdA}$
${\displaystyle =\int_{A}(Y_{G}+y)dA}$
${\displaystyle =Y_{G}\int_{A}dA+\int_{A}y dA}$
$=Y_{G}A+J_{z}$
と変形できる。$z$軸は図心を通るから、図心軸回りの断面1次モーメント$J_{z}=0$である。つまり、
$J_{Z}=Y_{G}A$ (重要)
となる。これも重要な公式であるので、覚えておくこと。これを${\displaystyle Y_{G}=\frac{J_{Z}}{A}}$と変形すれば、前回やった図心の定義と同じことである。