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着目点の座標と単位荷重の座標

影響線というのは、大きさ1の集中荷重(単位荷重)を 梁の左端から右端まで動かしてみたとき、 着目点の反力や断面力やたわみなどがどのように変化するかを 単位荷重の位置($\zeta$)の関数として表したものである。 その際、着目点を表す座標($z$)と単位荷重の位置を表す座標($\zeta$)とを 区別しないと混乱しやすいので、 このテキストでは、着目点の座標は$z$で表し、 単位荷重の位置は$\zeta$で表すことにする。

手順

1. 単位荷重の位置($\zeta$)を定数とみなして、 普通に反力、断面力、たわみなどを$z$の関数として求める
2. 着目点の座標($z=\frac{\ell }{2}$など)を求めた断面力や たわみの式に代入する
   • その際、 単位荷重が着目点より左側にある場合 (つまり着目点が単位荷重より右側にある場合)は $\zeta<z<\ell $の式を使い
   • 単位荷重が着目点より右側にある場合 (つまり着目点が単位荷重より左側にある場合)は $0<z<\zeta$の式を使う
3. 求めた影響線の関数を横軸を$\zeta$にとってグラフに描く

例題

図のような単純梁について、両端の反力の影響線と 中央($z=\frac{\ell }{2}$)の曲げモーメントとたわみの影響線を求めてみる。
まずは、単位荷重の位置を表す$\zeta$が定数だと考えて、 普通に反力や断面力、たわみを$z$の関数として求める。
この問題は、 静定梁のたわみの練習問題-問4 で、$a=\zeta$, $P=1$と置いたものと同じだから、
$V_{B}(\zeta)=\frac{\zeta}{\ell }$
$V_{A}(\zeta)=\frac{\ell -\zeta}{\ell }$
便宜上、$0<z<\zeta$の領域の断面力やたわみに添字$\ _{左}$を、 $\zeta<z<\ell $の領域の断面力やたわみに添字$\ _{右}$を つけて表すことにすると、
$0<z<\zeta$について、
$M_{左}(z,\zeta)=\frac{\ell -\zeta}{\ell }z$
$v_{左}(z,\zeta)=\frac{\zeta-\ell }{6\ell EI}\{z^{3}+(\zeta^{2}-2\ell \zeta)z\}$
$\zeta<z<\ell $について、
$M_{右}(z,\zeta)=\frac{\zeta}{\ell }(\ell -z)$
$v_{右}(z,\zeta)=\frac{\zeta}{6\ell EI}\{(z^{3}-3\ell z^{2})+(2\ell^{2}+\zeta^{2})z-\zeta^{2}\ell \}$
が普通の梁の断面力やたわみを解く要領で得られる。
まず両端の反力の影響線は $V_{A}(\zeta)$と$V_{B}(\zeta)$ を$\zeta$の関数として横軸に$\zeta$をとって グラフを描けばいい。
中央($z=\frac{\ell }{2}$)の曲げモーメントやたわみの影響線を描く場合は ちょっと注意が必要である。

$0<\zeta<\frac{\ell }{2}$の場合
単位荷重が着目点の$z=\frac{\ell }{2}$よりも左側にある場合 (つまり着目点が単位荷重よりも右側にある場合ということだから)、 着目点の曲げモーメントやたわみを表す式は、 $\zeta<z<\ell $の場合の式つまり$M_{右}(z,\zeta)$や $v_{右}(z,\zeta)$になる。
よって中央($z=\frac{\ell }{2}$)の曲げモーメントの影響線は、
$M_{右}(z=\frac{\ell }{2},\zeta)=\frac{\zeta}{2} \;\;\;\;(0<\zeta<\frac{\ell }{2})$
たわみの影響線は、
$v_{右}(z=\frac{\ell }{2},\zeta)= \frac{3\ell^{2}\zeta-4\zeta^{3}}{48EI} \;\;\;\;(0<\zeta<\frac{\ell }{2})$

$\frac{\ell }{2}<\zeta<\ell $の場合
単位荷重が着目点の$z=\frac{\ell }{2}$よりも右側にある場合 (つまり着目点が単位荷重よりも左側にある場合ということだから)、 着目点の曲げモーメントやたわみを表す式は、 $0<z<\zeta$の場合の式つまり$M_{左}(z,\zeta)$や $v_{左}(z,\zeta)$になる。
よって中央($z=\frac{\ell }{2}$)の曲げモーメントの影響線は、
$M_{左}(z=\frac{\ell }{2},\zeta)=\frac{\ell -\zeta}{2} \;\;\;\;(\frac{\ell }{2}<\zeta<\ell )$
たわみの影響線は、
$v_{左}(z=\frac{\ell }{2},\zeta)= \frac{4\zeta^{3}-12\ell \zeta^{2}+9\ell^{2}\zeta-\ell^{3}}{48EI} \;\;\;\;(\frac{\ell }{2}<\zeta<\ell )$

メモ: