という訳で、
図のような左端固定、右端ローラー支承で中央に集中荷重を受ける不静定梁について、
上の4階の微分方程式を使ってたわみを求めてみる。
梁の左端を原点として梁軸に沿って右側正に$z$軸を取る。
便宜上、
$0<z <\ell $
の左半分のたわみを$v_{左}$と書いて、
$\ell <z<2\ell $
の右半分のたわみを$v_{右}$と書くことにし、
$\frac{d}{dz}$の微分を$'$で表すと、分布外力がないので、
$EIv_{左}''''=0\;\;\;\;(0<z <\ell )$
$EIv_{右}''''=0\;\;\;\;(\ell <z<2\ell )$
それぞれ$z$について 4回積分してみると、
$0<z <\ell $ について
$EIv''''_{左}=0$
$EIv'''_{左}=A$
$EIv''_{左}=Az+B$
$EIv'_{左}=\frac{A}{2}z^{2}+Bz+C$
$EIv_{左}=\frac{A}{6}z^{3}+\frac{B}{2}z^{2}+Cz+D$
$\ell <z<2\ell $ について
$EIv''''_{右}=0$
$EIv'''_{右}=F$
$EIv''_{右}=Fz+G$
$EIv'_{右}=\frac{F}{2}z^{2}+Gz+H$
$EIv_{右}=\frac{F}{6}z^{3}+\frac{G}{2}z^{2}+Hz+J$
となる。積分定数が$A,B,C,D,F,G,H,J$の8個あるので、 条件式が8個必要である。
まず境界条件として使えるのは、 左の固定端でたわみとたわみ角が0つまり
$v_{左}(0)=0$, $v'_{左}(0)=0$
と 右のローラー支承でたわみとモーメントが0つまり
$v_{右}(2\ell )=0$, $v''_{右}(2\ell )=0$
の4つの条件で、これらの条件から、
$C=0$
$D=0$
$G=-2F\ell $
$J=\frac{8}{3}F\ell^{3}-2H\ell $
となる。 これらを代入して式を書き直すと、
$0<z <\ell $ について
$EIv''''_{左}=0$
$EIv'''_{左}=A$
$EIv''_{左}=Az+B$
$EIv'_{左}=\frac{A}{2}z^{2}+Bz$
$EIv_{左}=\frac{A}{6}z^{3}+\frac{B}{2}z^{2}$
$\ell <z<2\ell $ について
$EIv''''_{右}=0$
$EIv'''_{右}=F$
$EIv''_{右}=Fz-2F\ell $
$EIv'_{右}=\frac{F}{2}z^{2}-2F\ell z+H$
$EIv_{右}=\frac{F}{6}z^{3}-F\ell z^{2}+Hz+\frac{8}{3}F\ell^{3}-2H\ell $
となる。
連続条件として使えるのは、 中央の集中荷重載荷部で、たわみとたわみ角が等しい、つまり
$v_{左}(\ell )=v_{右}(\ell )$
$v'_{左}(\ell )=v'_{右}(\ell )$
の2つの条件で、これらの条件から、
$\frac{A}{2}\ell^{2}+B\ell +\frac{3F}{2}\ell^{2}=H$と
$\frac{A}{6}\ell^{2}+\frac{B}{2}\ell -\frac{11}{6}F\ell^{2}=-H$
の2式が求まり、辺々足して整理すると、
$4A\ell +9B-2F\ell =0$
となる。 さて、未知数8個に対して境界条件4つと、連続条件2つ使ったが、 あと2つの条件式が必要である。 ここで、中央の集中荷重載荷部の微小部分を図のように薄くスライスして 切り取ってみる。
この微小部分の左の切断面にはせん断力$S_{左}(\ell )$と
曲げモーメント$M_{左}(\ell )$が作用し、
右の切断面にはせん断力$S_{右}(\ell )$と
曲げモーメント$M_{右}(\ell )$が作用し、
微小部分に集中荷重外力$P$が作用している。
