構造力学II第9回

小さい字は補足説明や余談なので、読み飛ばしてもいいです。

このページのオリジナルの作者は 後藤文彦です。

構造力学IIオンライン授業用テキスト
第9回オンライン授業

目次

• 分布外力と断面力のつりあい
  • 初等梁のせん断応力とせん断力
• 梁の支配微分方程式
• たわみの微分で表した関係式各種
• 例題

分布外力と断面力のつりあい

第5回で、 $M(z)=-EIv''(z)$という式を導いた。 静定梁で梁の曲げモーメントがわかるなら、 この式を使えば、 それを2回積分してたわみが求まるので、これはなかなか便利な式だ。 では、不静定梁で、力のつりあいから曲げモーメントが求まらない場合は どうしたらいいだろう。 今回は、もう少し強力？な式を導いてみる。

任意の境界条件で任意の外力を受けてつりあっている梁の微小部分を切り取って、 この微小部分の力のつりあいを考えてみる。 図では単純梁にしているが、別に不静定梁でも構わない。 外力は、鉛直方向には、$q(z)$で表される分布外力が作用し、 軸方向には、$p(z)$で表される$z$方向分布外力が作用しているものとする。

微小部分の長さは$dz$とし、 この微小範囲では鉛直方向の分布荷重外力$q(z)$や 軸方向の分布荷重外力$p(z)$は等分布していると見なせることにしておく。 切り取られたことによってできた両端の切断面には、 この切り取られた部分だけでつりあいが成り立つような 内力としての断面力が 図心($z$軸)に作用していることにする。 この微小部分は外力$q(z)$と$p(z)$を受けているので、 左端の断面力と右端の断面力は大きさが同じ(で向きが逆)にはならない。 左端での軸力を$N(z)$, せん断力を$S(z)$, 曲げモーメントを$M(z)$とすると、 そこから$dz$だけずれた右端でのこれらの変化量は、 「瞬間の変化率」 $\frac{dN(z)}{dz}, \;\; \frac{dS(z)}{dz}, \;\; \frac{dM(z)}{dz}$ に$dz$をかけて、 それぞれ、 $\frac{dN(z)}{dz}dz, \;\; \frac{dS(z)}{dz}dz, \;\; \frac{dM(z)}{dz}dz$ と表せるから、右端の軸力、せん断力、曲げモーメントは、それぞれ、 $N(z)+\frac{dN(z)}{dz}dz, \;\; S(z)+\frac{dS(z)}{dz}dz, \;\; M(z)+\frac{dM(z)}{dz}dz$ と表せる。 (参考： (応力のつりあい)
これらを用いてこの微小部分の力のつりあいを考えると
$\sum\downarrow=-S(z)+q(z)dz+(S(z)+\frac{dS(z)}{dz}dz)=0$
$\sum\rightarrow=-N(z)+p(z)dz+(N(z)+\frac{dN(z)}{dz}dz)=0$
$\sum_{A}\circlearrowleft=-M(z)-q(z)dz\frac{dz}{2}-(S(z)+\frac{dS(z)}{dz}dz)dz +(M(z)+\frac{dM(z)}{dz}dz) =0$
となる。 分布荷重$q(z)$は長方形分布とみなしているから、 荷重の合計は$q(z)dz$を長方形の重心に作用させると、 点Aからのモーメントの腕の長さは$\frac{dz}{2}$。
3つめのモーメントのつりあいの式に関して、 $q(z)dz\frac{dz}{2}$や$(\frac{dS(z)}{dz}dz)dz$ は$d$のつく微小量の2次項なので微小と見なして無視して整理する。 もう少し厳密に言うと、2次項は、 分子の$d$の数ひく分母の$d$の数が2つ以上の項ということ。 すると、
$-S(z)dz+\frac{dM(z)}{dz}dz=0$
となるから、両辺を$dz$で割って整理すると、以下の関係が得られる。

せん断力-曲げモーメント関係

$S(z)= \frac{dM(z)}{dz}$     (重要)
これは、構造力学Iで モーメント図を描くときにさんざん使ってきた $S(z)=M'(z)$の式である。 つまり、梁モデルのせん断力は曲げモーメントの微分で与えられるということになる。 また、
$y$方向のつりあい式を同様に整理すると:
$\frac{dS(z)}{dz}+q(z)=0$
となるが、これに上の $S(z)= \frac{dM(z)}{dz}$ を代入すると、曲げに関するつりあい式は、以下のようになる。

曲げに関するつりあい式

$\frac{d^{2}M(z)}{dz^{2}}+q(z)=0$
となる。微分を$'$で表すなら、以下のように書いてもよい。
$M''(z)+q(z)=0$
また、$z$方向のつりあい式を整理すると、 軸力のつりあい式は以下のようになる。

軸力に関するつりあい式

$\frac{dN(z)}{dz}+p(z)=0$
微分を$'$で書けば、以下のように書いてもよい。
$N'(z)+p(z)=0$

初等梁のせん断応力とせん断力

梁モデルの仮定では、 初等梁にはせん断変形がないことになっていた。 だから、初等梁でゼロでないひずみは、 軸方向の直ひずみ$\varepsilon_{zz}$だけで、 ゼロでない応力は 軸方向の直応力$\sigma_{zz}$だけであった。 だから、この軸方向の直応力$\sigma_{zz}$を面積積分して合計することによって 軸力$N$を定義したり、 この軸方向の直応力$\sigma_{zz}$に「腕の長さ」をかけながら 面積積分して合計する ことによって 曲げモーメント$M$ を定義することはできたが、 断面に作用するせん断応力$\sigma_{yz}$はない(無視できる)ことになっていたので、 せん断力$S$を面積積分で定義することはできなかった。 それなのに梁の微小部分の分布外力と断面力の力のつりあいを考えると、 (断面に作用するせん断応力$\sigma_{yz}$は無視されているにもかかわらず) せん断力が、曲げモーメントの微分として $S(z)=\frac{dM(z)}{dz}$ と与えられてしまう。これは 梁モデルの仮定 (でやや強引な仮定をしたことによる) 初等梁理論のちょっと変な点である。 そもそも、断面のせん断応力$\sigma_{yz}$が無視できるからといって、 断面のせん断力$S$もないことにしてしまうと、 力のつりあいは曲げモーメントが一定の場合しかなりたたなくなってしまう。 実はベルヌーイ・オイラーの仮定が (それほど細長くない梁にも一般的に)成り立つ変形は、 梁が円弧のように変形する場合で、これは曲げモーメントが一定 の状態で「純曲げ」と呼ばれる状態である。 しかし、初等梁理論では純曲げ状態でなくても ベルヌーイ・オイラーの仮定が 成り立つことにしてしまったために、 「断面のせん断応力$\sigma_{yz}$は無視できても、 断面力としてのせん断力$S$はあることにしないとモーメントのつりあいが 満たされない」 という矛盾点を抱える理論なので、その点に注意しておく必要がある。

例えば、図のように微小部分の左端と右端とで曲げモーメントが異なる場合、 $A$点まわりのモーメントのつりあいは、$\frac{dM}{dz}dz-Sdz=0$となり、 つまり $S(z)=\frac{dM(z)}{dz}$ となる訳だが、$S=0$にしてしまうと、 モーメントの変化率$\frac{dM(z)}{dz}$も0になってしまうので、 純曲げしか表せなくなってしまう。 つまり、梁のたわみは円弧でしか表せなくなる。 いくら細長くてせん断変形が無視できる梁だからといって、 断面力は純曲げ状態にしかならないというモデルでは、 精度が悪すぎて実用的ではないだろう。 そこで、(せん断応力$\sigma_{yz}$は無視できたとしても) モーメントのつりあいを満たすために必要なせん断力$S$を モーメントの変化率として $S(z)=\frac{dM(z)}{dz}$ と定義してやることで、細長い梁に対する実用的な 予測が行えるモデルとなっているのである。

さて、初等梁の式を導く際には、せん断応力$\sigma_{yz}$を無視しているが、 実際には、細長い梁でもせん断応力はそれなりにあるのである。 初等梁の 直応力$\sigma_{zz}$は、三角形分布しているが、 この直応力とつりあうようなせん断応力を求めると、 せん断応力$\sigma_{yz}$は、図のような放物線分布をしていて、 $y=0$の位置で最大となる。 ちなみに、長方形断面の場合、断面の最大せん断応力は、 $\sigma_{yz}^{max}=\frac{3S}{2A}$となる。 こうしたせん断応力に関する詳しい解説をもっと読みたい人は、 このテキストのネタ本でもある 岩熊哲夫・小山茂『鬆徒労苦衷有迷禍荷苦痛-- 計算機による構造解析の基礎としての構造力学を独習する』 を参照してほしい。

梁の支配微分方程式

さて、上で導いた 軸力に関するつりあい式
$N'(z)+p(z)=0$
と 曲げに関するつりあい式
$M''(z)+q(z)=0$ に、 軸力-図心変位関係
$N(z)=EAw'(z)$
と 曲げモーメント-たわみ関係
$M(z)= -EIv''(z)$ をそれぞれ代入すると、以下のような のような図心変位$v$(たわみ)と$w$(軸方向変位)の微分方程式が導かれる。

梁の支配微分方程式

$EAw''(z)+p(z)=0$
$-EIv''''(z)+q(z)=0$      (最重要)
これらを梁の支配(微分)方程式とか、 特にたわみに関する式をたわみの微分方程式とか言う。 上の式で$z$の関数になっているのは、 変位($w$や$v$)の微分と分布外力($p$や$q$)だけだから、 外力($p$や$q$)の式がわかっていれば、 モーメントの式$M(z)$がわからなくても、 これらの式を積分して、 静定梁のたわみを$M=-EIv''$を積分して解いた のと同じ要領で境界条件と連続条件 (と後述するが、集中荷重の場合は載荷点の微小部分の外力と断面力のつりあい条件)を 使って積分定数を決定すれば、 不静定梁でもたわみや軸方向変位を求めることができる。 これについては、次回やるので楽しみにしておいてほしい。

たわみの微分で表した関係式各種

梁の微分方程式を積分して、 たわみや断面力などを求める際、 たわみ$v$の微分($v', v'', v'''$など)がたわみ角や断面力と どのように関係付けられているかということを知っていないと、 境界条件や連続条件などを適切に利用することができない。 そこで、以下にたわみの微分とたわみ角や断面力との関係式をまとめておく。

• $v(z)$
  たわみ$v$は、ヒンジ支承や固定端でたわみゼロ($v=0$)の 境界条件を考慮したり、 集中荷重載荷点でたわみが等しい($v_{左}=v_{右}$)の 連続条件を考慮したりする際に用いる。
• $\theta(z)=-v'(z)$      (重要)
  たわみの1階微分$v'$は、たわみ角である。 梁軸方向に$z$(右正)、たわみ方向に$y$(下正)を取る このテキストの座標では $\theta$は、 $x$軸右ねじまわりの回転角で、$v'$とは符号が逆になる。 座標の取り方によっては、$v'$の正の向きがそのまま座標軸の 右ねじ回転と一致するように定義されている文献もある。 いずれにせよ($v'$が座標軸の右ねじ回転に一致するかしないかに かかわらず) $v'$のことをたわみ角と言う文献もあれば、 $-v'$のことをたわみ角と言う文献もある。 固定端でたわみ角ゼロ($v'=0$)の境界条件を考慮したり、 集中荷重載荷点でたわみ角が等しい($v'_{左}=v'_{右}$) の連続条件を考慮したりする際に 用いるが、その場合、符号はあまり問題にならないだろう。
• $M(z)=-EIv''(z)$      (重要)
  たわみの2階微分$v''$は （符号の正負はともかく） 曲率を表し、 曲げモーメント と関係づけられる。 (モーメント外力の作用しない)ヒンジ端でモーメントゼロ($v''=0$)の 境界条件を考慮したり、 求めたたわみ関数$v$から不静定梁のモーメント分布を求めたり、 集中外力載荷部の微小部分のモーメント のつりあい条件を考慮したりする際に用いる。
• $S(z)=-EIv'''(z)$      (重要)
  一つ上の$M(z)=-EIv''(z)$の左辺と右辺をそれぞれ1回微分すれば、 たわみの3階微分$v'''$はせん断力と関係づけられる。 求めたたわみ$v$から不静定梁のせん断力分布を求めたり、 集中荷重載荷部の微小部分の集中荷重とせん断力のつりあい条件を考慮したりする際に 用いる。
• $-EIv''''(z)+q(z)=0$      (最重要)
  たわみの4階微分$v''''$は分布外力と関係づけられる。 これを積分して、境界条件や連続条件や集中荷重載荷部の力のつりあい条件を 考慮すると不静定梁のたわみや断面力が求まるので、 たわみの微分方程式とか 梁の支配微分方程式と呼ばれる。

例題

例題1

図の不静定梁のたわみが
$v(z)=\frac{q}{48EI}(2z^{4}-5\ell z^{3}+3\ell^{2}z^{2})$
で与えられるとき、 せん断力$S(z)$, 曲げモーメント$M(z)$, 反力$V_\text{A}, M_\text{A}, V_\text{B}$を求めよ。 答えはここ。

例題2

図の不静定梁のたわみが
$v(z)=\frac{q}{24EI}(z^{4}-2\ell z^{3}+\ell^{2}z^{2})$
で与えられるとき、 せん断力$S(z)$, 曲げモーメント$M(z)$を求めよ。 答えはここ。

例題3

梁の鉛直方向のつりあい式が
$S'(z)+q(z)=0$
で与えられるとき、せん断力と曲げモーメントの関係 $S(z)=M'(z)$と 曲げモーメントとたわみの関係$M(z)=-EIv''(z)$を用いて、 たわみの微分方程式を導け。 答えはここ。

例題4

図の不静定梁のたわみが
$v(z)=\frac{q}{48EI}(2z^{4}-3\ell z^{3}+\ell^{3}z)$
で与えられるとき、 せん断力$S(z)$, 曲げモーメント$M(z)$, 反力$V_\text{A}, V_\text{B}, M_\text{B}$を求めよ。 答えはここ。 求め方は、例題1の求め方と同様。

2022年度小テスト： 小テスト221214
2021年度小テスト： 問 （問題文の$\frac{(3)}{(4)}, \frac{(5)}{(6)}$とすべきところが、 すべて$\frac{(1)}{(2)}$になってました。 すいません。適宜、答案を見て判断します） 解答
2020年度小テスト： 問1-4, 解答
メモ: