初期状態で$x$軸に横たわる長さ$\ell$の梁の変形後のたわみが ${\displaystyle v(x)=\frac{x^{3}-3\ell x^{2}}{a^{2}}}$軸方向変位が${\displaystyle u(x)=\frac{\Delta\ell}{\ell}x}$
で表されるとする。 このとき、梁の軸方向垂直ひずみ$\varepsilon(x,y)$を求めよ。 また、 梁の中央$x=\frac{\ell}{2}$における$\varepsilon(\frac{\ell}{2})$を求め、 $x=\frac{\ell}{2}$の断面での$\varepsilon$の分布を図示せよ。
答え：
$v'(x)=\frac{3x^{2}-6\ell x}{a^{2}}$
$v''(x)=\frac{6x-6\ell}{a^{2}}=\frac{6}{a^{2}}(x-\ell)$
$\varepsilon^{曲げ}(x,y)=-yv''(x)=\frac{6}{a^{2}}y(\ell-x)$
$\varepsilon^{のび}(x,y)=u'(x)=\frac{\Delta\ell}{\ell}$
よって、 $\varepsilon(x,y)=\frac{6}{a^{2}}y(\ell-x)+\frac{\Delta\ell}{\ell}$
上式に$x=\frac{\ell}{2}$を代入すると、
$\varepsilon(x=\frac{\ell}{2},y)=\frac{3\ell}{a^{2}}y+\frac{\Delta\ell}{\ell}$