初期状態で$z$軸に横たわる長さ$\ell$の梁の変形後のたわみが ${\displaystyle v(z)=\frac{z^{3}-3\ell z^{2}}{a^{2}}}$軸方向変位が${\displaystyle w(z)=\frac{\Delta\ell}{\ell}z}$
で表されるとする。 このとき、梁の軸方向直ひずみ$\varepsilon_{zz}(y,z)$を求めよ。 また、 梁の中央$z=\frac{\ell}{2}$における$\varepsilon_{zz}(\frac{\ell}{2})$を求め、 $z=\frac{\ell}{2}$の断面での$\varepsilon_{zz}$の分布を図示せよ。
答え：
$v'(z)=\frac{3z^{2}-6\ell z}{a^{2}}$
$v''(z)=\frac{6z-6\ell}{a^{2}}=\frac{6}{a^{2}}(z-\ell)$
$\varepsilon_{zz}^{曲げ}(y,z)=-yv''(z)=\frac{6}{a^{2}}y(\ell-z)$
$\varepsilon_{zz}^{のび}(y,z)=w'(z)=\frac{\Delta\ell}{\ell}$
よって、 $\varepsilon_{zz}(y,z)=\frac{6}{a^{2}}y(\ell-z)+\frac{\Delta\ell}{\ell}$
上式に$z=\frac{\ell}{2}$を代入すると、
$\varepsilon_{zz}(y,z=\frac{\ell}{2})=\frac{3\ell}{a^{2}}y+\frac{\Delta\ell}{\ell}$