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不静定梁のたわみは、 梁の支配微分方程式

$-EI\frac{d^{4}v(z)}{dz^{4}}+q(z)=0$

を 4回積分して、境界条件や連続条件を用いて積分定数を決定すれば求まる し、それが数学的には明解な解法だと思う。 が、集中外力が多かったり、連続梁だったりして$z$座標の場合分けが 2箇所、3箇所と増えてくると、積分定数も8個、12個と増えてくるので、 紙と鉛筆で計算間違いをせずに解くのはなかなかしんどくなってくる。 そこで、比較的少ない計算負荷で不静定梁を解ける便法の1つとして、 「重ね合わせの原理」を用いる方法を紹介しておく。 「重ね合わせの原理」というのは、

複数の外力が構造物に作用するとき、 そのたわみや断面力などは、 1つずつの外力が同じ構造物に作用した場合のたわみや断面力などを 足し合わせたものと等しくなる

という原理で、外力と変形との間に線形関係が成り立つような場合に成り立つ。 という訳で、 境界値問題として苦労して解いたのと同じ 図のような左端固定、右端ローラー支承で中央に集中荷重を受ける不静定梁について、 重ね合わせの原理を用いて梁のたわみと断面力を求めてみる。 重ね合わせの原理を用いる場合、 まずは適当な支承の拘束を取り除いた 静定梁Iを考え、次にその同じ静定梁の拘束を取り除いた部分に、 元の不静定構造物では生じているはずの 不静定反力が外力として載荷されている静定梁IIを考え、 これらの2つの静定梁IとIIを足し合わせると元の梁になると考える。 その際、2つの梁を足し合わせた時に、拘束を取り除いた部分のたわみなどの 変位が、元の拘束がある状態の値($0$とか)に一致しなければならない という条件が付加される。 例えば、 図の梁について、右端のローラー支承の鉛直方向の拘束を取り除いた静定梁Iと、 その右端に元の梁では生じているはずの不静定反力$R$が作用している静定梁IIと を足し合わせると元の梁になると考えてみる。 これら2つの梁を足して元の梁になるためには、 足した後に右端のたわみが$0$になる必要があるので、 $v^{I}(2L)+v^{II}(2L)=0$という条件が付加される。

まず、梁の左端を原点として梁軸に沿って右側正に$z$軸を取る。 便宜上、 元の梁と梁Iの $0<z <L$ の左半分のたわみを$v_{左}, v_{左}^{I}$と書いて、 元の梁と梁Iの $L<z<2L$ の右半分のたわみを$v_{右}, v_{右}^{I}$と書くことにする。

梁I

静定梁のたわみ の 練習問題 で解いたように、梁Iの曲げモーメントとたわみは、

$0<z <L$ について
$M_{左}^{I}=P(z-L)$
$v_{左}^{I}=\frac{P}{6EI}(3Lz^{2}-z^{3})$

$L<z<2L$ について
$M_{右}^{I}=0$
$v_{右}^{I}=\frac{P}{6EI}(3L^{2}z-L^{3})$
先端のたわみ: $v_{右}^{I}(2L)=\frac{5PL^{3}}{6EI}$

梁II

曲げモーメントは
$M=R(2L-z)$
$v_{左}^{I}$の$P$と$L$にそれぞれ$-R$と$2L$を代入し、
$v^{II}=\frac{R}{6EI}(z^{3}-6Lz^{2})$
先端のたわみ :$v^{II}(2L)=-\frac{8RL^{3}}{3EI}$

右端の条件

元の梁の右端はローラー支承でたわみは$0$でなければならないので、 梁Iと梁IIの右端のたわみを足し合わせたものは$0$となる。
$v_{右}^{I}(2L)+v^{II}(2L)=0$
$\frac{5PL^{3}}{6EI}+ (-\frac{8RL^{3}}{3EI})=0$
よって、$R=\frac{5P}{16}$となり
$v^{II}=\frac{5P}{96EI}(z^{3}-6Lz^{2})$

元の梁=梁I+梁II

元の梁のたわみは、梁Iと梁IIのたわみを足し合わせたものだから
$0<z <L$では
$v_{左}^{元}=v_{左}^{I}+v^{II}$
$=\frac{P}{6EI}(3Lz^{2}-z^{3}) + \frac{5P}{96EI}(z^{3}-6Lz^{2})$
$=\frac{P}{96EI}(-11z^{3}+18Lz^{2})$
$L<z<2L$では、
$v_{右}^{元}=v_{右}^{I}+v^{II}$
$=\frac{P}{6EI}(3L^{2}z-L^{3}) + \frac{5P}{96EI}(z^{3}-6Lz^{2})$
$=\frac{P}{96EI}(5z^{3}-30Lz^{2}+48L^{2}z-16L^{3})$

元の梁の曲げモーメントは梁Iと梁IIの曲げモーメントを足し合わせたものだから、
$0<z <L$では
$M_{左}^{元}=M_{左}^{I}+M^{II}$
$=P(z-L)+\frac{5P}{16}(2L-z)$
$=\frac{P}{16}(11z-6L)$
$L<z<2L$では、
$M_{右}^{元}=M_{右}^{I}+M^{II}$
$=0+\frac{5P}{16}(2L-z)$
$=\frac{5P}{16}(2L-z)$


せん断力は、曲げモーメントを微分して
$S_{左}(z)=M_{左}'(z)=\frac{11}{16}P     (0<z <L)$
$S_{右}(z)=M_{右}'(z)=-\frac{5}{16}P     (L<z<2L)$

次に同じ問題を、別の重ね合わせかたで解いてみよう。 今度は図のように、 左端の固定端の回転拘束を取り除いた静定梁Iと、 その左端に元の梁では生じているはずの不静定モーメント反力$M_{0}$が 作用している静定梁IIとを足し合わせると元の梁になると考えてみる。 これら2つの梁を足し合わせて元の梁になるためには、 足した後に左端のたわみ角が$0$になる必要があるので、 $v_{I}'(0)+v_{II}'(0)=0$という条件が付加される。

梁I

まず梁Iのたわみは、 ちゃんと解くのがめんどくさいので 静定梁のたわみの 問題の$\frac{L}{2}$を$L$に置き換えればいいので、 静定梁のたわみの 問題のたわみの$L$に$2L$を代入すると、

$v_{左}^{I}=\frac{P}{12EI}(3L^{2}z-z^{3})$    $(0<z<L)$
$v_{右}^{I}=\frac{P}{12EI}(z^{3}-6Lz^{2}+9L^{2}z-2L^{3})$    $(L<z<2L)$

と求まる(ちゃんと解いて確かめて下さい)。左端のたわみ角は、
$v_{左}^{I}'=\frac{P}{12EI}(3L^{2}-3z^{2})$
$=\frac{P}{4EI}(L^{2}-z^{2})$より
$v_{左}^{I}'(0)=\frac{PL^{2}}{4EI}$

梁II

力のつりあいから支点反力を求めると 左右の鉛直反力はそれぞれ$\frac{M_{0}}{2L}$, $-\frac{M_{0}}{2L}$ となり、断面を切ってつりあいを考えると曲げモーメントは、
$M=\frac{M_{0}}{2L}(z-2L)$
$M=-EIv''$より、
$EIv^{II}''=\frac{M_{0}}{2L}(-z+2L)$
$EIv^{II}'=\frac{M_{0}}{2L}(-\frac{z^{2}}{2}+2Lz)+F$
$EIv^{II}=\frac{M_{0}}{2L}(-\frac{z^{3}}{6}+Lz^{2})+Fz+G$
境界条件$v(0)=0, v(2L)=0$より
$G=0$
$F=-\frac{2LM_{0}}{3}$
左端のたわみ角は
$v^{II}'(0)=-\frac{2LM_{0}}{3EI}$

左端の条件

$v_{左}^{I}'(0)+v^{II}'(0)=0$より
$\frac{PL^{2}}{4EI}-\frac{2LM_{0}}{3EI}=0$
よって$M_{0}=\frac{3PL}{8}$
$v^{II}=\frac{P}{96EI}(-3z^{3}+18Lz^{2}-24L^{2}z)$

元の梁=梁I+梁II

$0<z<L$
$v_{左}^{I}+v^{II}= \frac{P}{96EI}(24L^{2}z-8z^{3}-3z^{3}+18Lz^{2}-24L^{2}z)$
$=\frac{P}{96EI}(-11z^{3}+18Lz^{2})$    $(0<z<L)$
$L<z<2L$
$v_{右}^{I}+v^{II}= \frac{P}{96EI}(8z^{3}-48Lz^{2}+72L^{2}z-16L^{3} -3z^{3}+18Lz^{2}-24L^{2}z)$
$=\frac{P}{96EI}(5z^{3}-30Lz^{2}+48L^{2}z-16L^{3})$    $(L<z<2L)$

メモ: